二叉搜索树
二叉搜索树（Binary Search Tree，BST），也叫二叉排序树，是一种特殊的二叉树，它在 查找、插入、删除 操作上都能保持较高的效率，是众多高级数据结构（AVL、红黑树）的基础
二叉搜索树满足以下 递归性质：
对于任意节点：
- 其 左子树 中所有节点的值都 小于 该节点的值
- 其 右子树 中所有节点的值都 大于 该节点的值
- 左右子树本身也都是二叉搜索树
graph TD
8((8)) --> 3((3))
8 --> 10((10))
3 --> 1((1))
3 --> 6((6))
6 --> 4((4))
6 --> 7((7))
10 --> 14((14))
14 --> 13((13))
由定义可直接推出一个重要性质：中序遍历一棵 BST 得到的是升序序列。上图的中序遍历结果是 1 3 4 6 7 8 10 13 14。
1 查找（Search）
利用"左小右大"的性质，每次比较后可以 排除一半 的节点，类似二分查找：
| // 递归版
TreeNode* search(TreeNode* root, int key) {
if (!root || root->val == key) return root;
return key < root->val ? search(root->left, key)
: search(root->right, key);
}
// 迭代版（推荐，省递归栈空间）
TreeNode* search(TreeNode* root, int key) {
while (root && root->val != key) {
root = key < root->val ? root->left : root->right;
}
return root; // 找到返回节点指针，找不到返回 nullptr
}
|
2 插入（Insert）
插入的核心思路和查找一样：先按大小关系走到空位，再把新节点挂上去：
| TreeNode* insert(TreeNode* root, int val) {
if (!root) return new TreeNode(val); // 到达空位，新建节点
if (val < root->val)
root->left = insert(root->left, val);
else if (val > root->val)
root->right = insert(root->right, val);
// val == root->val 时，按需求决定：这里选择不插入重复值
return root;
}
|
重复值处理
不同实现可以约定不同策略：
- 不允许重复：
val == root->val 时直接返回（如上）
- 允许重复：可以约定"等于的放左子树"或"放右子树"，或者给节点加
count 计数
3 删除（Delete）—— 最复杂的操作
删除节点需要分 三种情况 处理，同时保持 BST 性质：
| // 找以 root 为根的子树中的最小值节点（最左边的节点）
TreeNode* findMin(TreeNode* root) {
while (root && root->left) root = root->left;
return root;
}
TreeNode* remove(TreeNode* root, int key) {
if (!root) return nullptr;
// 先递归找到要删除的节点
if (key < root->val)
root->left = remove(root->left, key);
else if (key > root->val)
root->right = remove(root->right, key);
else {
// 情况 1：叶子节点 —— 直接删除
if (!root->left && !root->right) {
delete root;
return nullptr;
}
// 情况 2：只有一个子节点 —— 用子节点顶替自己
if (!root->left) {
TreeNode* tmp = root->right;
delete root;
return tmp;
}
if (!root->right) {
TreeNode* tmp = root->left;
delete root;
return tmp;
}
// 情况 3：有两个子节点 —— 用"后继"顶替
// 后继 = 右子树中最小的节点（保证大于左子树全部、小于右子树其余节点）
TreeNode* succ = findMin(root->right);
root->val = succ->val; // 拷贝后继的值
root->right = remove(root->right, succ->val); // 递归删除后继节点
}
return root;
}
|
- 情况 1：叶子节点，直接
delete 并返回 nullptr
- 情况 2：只有一个孩子，用孩子"接管"位置
- 情况 3：有两个孩子，不能直接删，改用 后继（右子树最小值）或 前驱（左子树最大值）的值覆盖自己，再递归删除那个后继/前驱节点（它必然落入情况 1 或 2）
为什么情况 3 要用后继/前驱替换？
因为删除有两个孩子的节点后，需要一个新的值填补空缺，且必须满足"大于左子树所有值、小于右子树所有值"。右子树的最小值（后继）恰好满足：它大于左子树全部节点（因为在右子树里），又小于右子树其余节点（因为它是右子树最小的）。左子树的最大值（前驱）同理
4 遍历
中序遍历 是 BST 最核心的遍历方式，输出天然有序：
| void inorder(TreeNode* root) {
if (!root) return;
inorder(root->left); // 左
std::cout << root->val << ' '; // 根
inorder(root->right); // 右
}
|
- 前序遍历（根左右）：可用于 序列化/重建 BST
- 后序遍历（左右根）：常用于"先处理子节点"的场景（如释放内存）
5 复杂度分析
| 操作 |
平均复杂度 |
最坏复杂度 |
| 查找 |
\(O(\log N)\) |
\(O(N)\) |
| 插入 |
\(O(\log N)\) |
\(O(N)\) |
| 删除 |
\(O(\log N)\) |
\(O(N)\) |
| 中序遍历 |
\(O(N)\) |
\(O(N)\) |
其中 \(O(\log N)\) 成立的前提是树 接近平衡。如果插入的序列本身有序，BST 会退化成一条链
此时查找退化为 \(O(N)\)，失去了二分查找的优势。为解决退化问题，人们发明了 平衡二叉搜索树：
| 结构 |
平衡策略 |
| AVL 树 |
严格平衡（左右子树高度差 ≤ 1），旋转调整 |
| 红黑树 |
近似平衡（最长路径 ≤ 2× 最短路径），std::map/std::set 底层 |
| Treap |
随机优先级 + 堆性质 |
| Splay 树 |
访问后旋转到根 |
和 STL 的联系
C++ 标准库的 std::set、std::map 底层就是 红黑树（一种自平衡的 BST），因此它们才有 \(O(\log N)\) 的查找/插入/删除保证和 有序遍历 能力。
6 其他常用操作
6.1 找最小值 / 最大值
| TreeNode* findMin(TreeNode* root) {
while (root && root->left) root = root->left; // 一直往左
return root;
}
TreeNode* findMax(TreeNode* root) {
while (root && root->right) root = root->right; // 一直往右
return root;
}
|
6.2 验证一棵树是否为 BST
利用"中序遍历必须严格递增"或"每个节点值在合法区间内"：
| bool isValid(TreeNode* root, long long low, long long high) {
if (!root) return true;
if (root->val <= low || root->val >= high) return false;
return isValid(root->left, low, root->val)
&& isValid(root->right, root->val, high);
}
// 调用：isValid(root, LLONG_MIN, LLONG_MAX)
|
7 典型应用
- 有序集合/字典：
std::set、std::map（红黑树）
- 范围查询：查找某个区间内的所有元素（BST 中序遍历一段即可）
- 前驱/后继查询：比某值小的最大值 / 比某值大的最小值
- 排名查询：给节点加
size 字段可查"第 k 小"（LeetCode 230）
- 数据库索引：B 树/B+ 树是 BST 的磁盘友好版推广