3 多维随机变量及其分布¶
说明
- 有些公式块因为已经有图片了，懒得打 \(\KaTeX\) 了，所以就直接用图片替代了
- 本文档仅涉及部分内容，仅可用于复习重点知识
1 二维离散型随机变量¶
1.2 二维离散型随机变量的边际分布¶
\(P\lbrace Y = y_i \rbrace = \sum\limits_{i=1}^{+\infty}p_{ij} \xlongequal{def} p_{.j}\)
1.3 二维离散型随机变量的条件分布¶
\(P\lbrace X = x_i | Y = y_i \rbrace = \dfrac{p_{ij}}{p_{.j}}\)
2 二维随机变量的分布函数¶
2.1 二维随机变量的联合分布函数¶
\(P \lbrace x_1 < X \leqslant x_2, y_1 < Y \leqslant y_2 \rbrace = F(x_2,y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1)\)
2.2 二维随机变量的边际分布函数¶
\(F_X(x) = F(x, +\infty)\)
2.3 二维随机变量的条件分布函数¶
\(F_{Y|X}(y|x_i) = P\lbrace Y \leqslant y|X = x_i\rbrace\)
3 二维连续型随机变量¶
3.1 二维连续型随机变量的联合分布¶
\(F(x,y) = \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)dudv\)
\(\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y} = f(x,y)\)
3.2 二维连续型随机变量的边际分布¶
\(f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)
3.3 二维连续型随机变量的条件分布¶
\(f_{Y|X}(y|x) = \dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}\)
3.4 二元均匀分布和二元正态分布¶
4 随机变量的独立性¶
\(X\)与\(Y\)相互独立：\(f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)\)
定理： 二维连续型随机变量 \(X,Y\) 相互独立的充要条件是 \(X,Y\) 的联合密度函数 \(f(x,y)\) 几乎处处可写成 \(x\) 的函数 \(m(x)\) 与 \(y\) 的函数 \(n(y)\) 的乘积，即 $$ f(x,y) = m(x)n(y) $$
5 多元随机变量函数的分布¶
5.1 \(Z = X + Y\) 的分布¶
若 \((X,Y)\) 为二维离散型随机变量
\(P\lbrace Z = z_k \rbrace = \sum\limits_{i=1}^{+\infty}P\lbrace X = x_i \rbrace P \lbrace Y = z_k - x_i \rbrace\)
\(P\lbrace Z = z_k \rbrace = \sum\limits_{i=1}^{+\infty}P\lbrace X = z_k - y_j \rbrace P \lbrace Y = y_j \rbrace\)
若 \((X,Y)\) 为二维连续型随机变量
\(f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx\)
\(f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy\)
当 \(X,Y\) 相互独立时
\(f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx\)
\(f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy\)
n 个相互独立的服从泊松分布的随机变量的和仍服从泊松分布，其参数为 n 个分布的参数之和
n 个相互独立的正态变量的线性组合仍为正态变量
5.2 \(M = max\lbrace X,Y\rbrace, N = min\lbrace X,Y\rbrace\) 的分布¶
若 \(X, Y\) 相互独立
\(F_M(t) = F_X(t)F_Y(t)\)
\(F_N(t) = 1 - [1 - F_X(t)][1 - F_Y(t)]\)